§ 8. Законы Кеплера

1. Первый закон Кеплера. До конца XVI в. учёным не удавалось точно рассчитать относительное положение планет на несколько лет вперёд с помощью существовавших в то время теорий. Теоретические выкладки давали заметное расхождение с результатами наблюдений. Причина состояла в ошибочном предположении, что планеты равномерно движутся по строго круговым орбитам вокруг Солнца. Кинематические законы движения планет были открыты лишь в начале XVII в. австрийским астрономом и математиком Иоганном Кеплером. Он впервые разрушил укоренившийся пифагорейский предрассудок о «совершенности» орбит планет, показав их эллиптичность. Кеплер установил, что планеты обращаются по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Данная закономерность получила название первого закона Кеплера.Отрезок AВ (рис. 37)

называется большой осью, а отрезок СD — малой осью эллипса. Отрезки AO = OВ = а, СO = OD = b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Отношение

называется эксцентриситетом эллипса. Чем больше эксцентриситет эллипса, тем больше смещены фокусы по отношению к центру и тем больше будет разность между большой и малой полуосями. То есть эксцентриситет служит мерой «сплюснутости» эллипса. Для эллипса 0 < е < 1. Отметим, что при е = 0 можно рассматривать окружность как частный вид эллипса (b = a). Допустим, что если Солнце находится в фокусе F1, то ближайшую к Солнцу точку (А) орбиты планеты называют перигелием, а наиболее удалённую (В) — афелием. Обозначим АF1 = q (q — перигелийное расстояние), а ВF1 = Q (Q — афелийное расстояние). Из рисунка 37 следует, что q + OF1 = a, OF1 = a · e, тогда

У земной орбиты эксцентриситет равен 0,017. Земля находится в перигелии в начале января, и перигелийное расстояние равно 147 млн км, а в афелии — в начале июля, и афелийное расстояние равно 152 млн км.
2. Второй закон Кеплера. Изучая движение Марса в пространстве, Кеплер заметил, что планета движется по орбите неравномерно — зимой быстрее, чем летом. Он стал искать закономерность, по которой происходит изменение скорости Марса, и выдвинул гипотезу, что скорость должна быть обратно пропорциональна расстоянию от Марса до Солнца. Для перигелия и афелия предположение подтвердилось. Тогда Кеплер условно разбил орбиту Марса на 360 частей и начал проверять свою гипотезу для различных её участков. Наблюдения и расчёты показали, что за равные промежутки времени Марс проходит равные площади секторов орбиты. Современная формулировка этой зависимости распространена на все планеты и носит название второго закона Кеплера. Заключается она в следующем: радиус-вектор планеты (линия, соединяющая центр Солнца с центром планеты) за равные промежутки времени описывает равновеликие площади. Второй закон Кеплера, или закон площадей, проиллюстрирован на рисунке 38.

При движении планеты (Р) вокруг Солнца (S) её радиус вектор за равные промежутки времени описывает равные по площади фигуры — P1SP2 и P3SP4. Таким образом, скорость движения планеты по орбите меняется, принимая максимальное значение в перигелии и минимальное в афелии. 3. третий закон Кеплера. Сравнивая размеры орбит и периоды обращения планет вокруг Солнца, Кеплер обнаружил, что квадраты периодов обращения планет пропорциональны кубам их средних расстояний от Солнца (или отношение одинаково для всех планет). Третий закон Кеплера формулируется следующим образом: квадраты сидерических периодов обращения двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:

Если в этой формуле принять сидерический период обращения Земли вокруг Солнца равным 1 (один год) и большую полуось земной орбиты равной 1 (одна астрономическая единица, см. § 10), то формула (4) примет вид:

На основе открытых законов после многолетних вычислений в 1627 г. Кеплер составил таблицы, по которым можно было найти на небе положение каждой планеты в любой момент времени.

Главные выводы:

1. Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

2. За равные промежутки времени радиусы-векторы планет описывают равновеликие площади.

3. Квадраты сидерических периодов обращения двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит.

4. Законы Кеплера уточняют учение Коперника, в котором орбиты небесных тел считались окружностями.